martes, 23 de junio de 2009

La vida de "Evariste Galois"

Matemático francés. Hijo de una familia de políticos y juristas, fue educado por sus padres hasta los doce años, momento en el que ingresó en el Collège Royal de Louis-le-Grand, donde enseguida mostró unas extraordinarias aptitudes para las matemáticas.
Con sólo dieciséis años, interesado en hallar las condiciones necesarias para definir si una ecuación algebraica era susceptible de ser resuelta por el método de los radicales, empezó a esbozar lo que más adelante se conocería con el nombre genérico de «teoría de Galois», analizando todas las permutaciones posibles de las raíces de una ecuación que cumplieran unas condiciones determinadas.
Mediante dicho proceso, que en terminología actual equivale al de hallar el grupo de automorfismo de un cuerpo, sentó las bases de la moderna teoría de grupos, una de las ramas más importantes del álgebra. Galois intuyó que la solubilidad mediante radicales estaba sujeta a la solubilidad del grupo de automorfismo relacionado.
A pesar de sus revolucionarios descubrimientos, o tal vez por esa misma causa, todas las memorias que publicó con sus resultados fueron rechazadas por la Academia de las Ciencias, algunas de ellas por matemáticos tan eminentes como Cauchy, Fourier o Poisson. Subsiguientes intentos de entrar en la Escuela Politécnica se saldaron con sendos fracasos, lo cual le sumió en una profunda crisis personal, agravada en 1829 por el suicidio de su padre.
Miembro activo de la oposición antimonárquica, se vio implicado en un duelo cuyas motivaciones aún hoy permanecen confusas. Previendo su más que posible muerte en el lance, trabajó febrilmente en una especie de testamento científico que dirigió a su amigo Auguste Chevalier. A los pocos días tuvo lugar el duelo y el matemático, herido en el vientre, murió unas horas después, apenas cumplidos los veintiún años.

Resolución de ecuaciones polinómicas

Nosotros sabemos resolver ecuaciones cuadráticas (de grado 2) de la forma ax2+bx+c=0. Resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de x que hacen que la igualdad anterior sea cierta. Conocemos una fórmula general para encontrar esos valores de x (llamados raíces) para las ecuaciones de grado 2. Dicha fórmula es la siguiente:

x =

-b ± Ö(b2 - 4ac)

------------------

2a

De igual modo se conocen, y se conocían en época de Galois, fórmulas similares, aunque bastante más complejas, para resolver ecuaciones de 3 y 4 grado.

Sin embargo, cuando nos enfrentamos con ecuaciones de grado 5 las cosas se complican. Galois trabajó durante mucho tiempo en la obtención de una fórmula general válida para ecuaciones de 5 grado y superiores. Normalmente sus esfuerzos concluían en ecuaciones erróneas y más complicadas de resolver que la ecuación original. Finalmente demostró, casi simultáneamente con otro brillante matemático llamado Niels Henrik Abel, la imposibilidad de encontrar una solución general a estas ecuaciones utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes (es decir, mediante radicales). Llegó a la conclusión de que dichas ecuaciones sólo pueden resolverse de forma aproximada utilizando técnicas de cálculo numérico. Sin embargo, existen muchas ecuaciones de 5 grado y superiores perfectamente resolubles mediante radicales. Son casos particulares, pero Galois enunció y demostró un teorema, a veces llamado “teorema de Galois”, para identificar dichas ecuaciones. Dice así: «Si en una ecuación polinómica la potencia más alta es un número primo y si, supuesto conocidos dos valores de la x, los demás se pueden obtener a partir de ellos usando únicamente la suma, la resta, la multiplicación y la división, entonces la ecuación puede ser resuelta mediante radicales.»

Noción de Grupo de Galois

La teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois puede ser aplicada en diversos problemas de la teoría de cuerpos. El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. Un cuerpo es un anillo conmutativo (F, +, *) tal que 0 es distinto de 1 y todos los elementos de F salvo 0 tienen inverso multiplicativo.

Explicado, esto significa que vale lo siguiente:

F es cerrado para las operaciones + y *:

Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o más formalmente, + y * son operación binaria en F);

Ambas + y * son asociativas:

Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.

Ambas + y * son conmutativos:

Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a.

La operación * es distributiva sobre la operación +:

Para toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Existencia de un elemento neutro para +:

Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a.

Existencia de un elemento neutro para *:

Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a.

Existencia de elemento opuesto:

Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0.

Existencia de inversos:

Para cada a ≠ 0 en F, existe un elemento a -1 en F, tal que a * a-1 = 1.


El requisito 0 ≠ 1 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0.

La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes, y gracias a dicha teoría, pueden ser reducidos a problemas más sencillos de la teoría de grupos.

El aporte más importante que Evariste Galois realizó dentro de las matemáticas en su tiempo fue el concepto de Grupo. Le fue necesario construirlo para encontrar una forma más general y menos engorrosa que la que proporcionaba el teorema anteriormente enunciado, de identificar las ecuaciones de grado 5 y superiores resolubles mediante radicales. El concepto no es en absoluto sencillo e intentaremos introducirlo de la forma más ligera e inteligible posible.

En primer lugar hay que fijarse en ordenaciones de letras o números conocidas como permutaciones. Los números 1, 2 y 3 pueden ser colocados de las formas 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Llamemos a la permutación 123 “permutación identidad” y consideremos una forma de expresar las permutaciones consistentes en representarlas en dos líneas con la identidad en la línea de arriba y la permutación correspondiente en la línea de abajo. Así tenemos:

(

123

)

(

123

)

(

123

)

(

123

)

(

123

)

(

123

)

123

132

213

231

312

321

Una vez establecida la notación que usaremos vamos a definir una operación binaria en el conjunto de permutaciones. Consideremos dos cualesquiera:

(

123

)

(

123

)

=

(

123

)

213

132

231

La operación actúa así. Si consideramos en primer lugar la segunda permutación y después la primera, observamos que lo que se ha hecho es relacionar de forma secuencial los números obtenidos por la segunda permutación con los obtenidos con la primera del siguiente modo:

1 ®1 ®2

2 ®3 ®3

3 ®2 ®1

Esta operación (que llamaremos producto) es interna; es decir, el producto de dos permutaciones es otra permutación. Se dice que cumple la propiedad de cierre. Además da cuenta de otras propiedades que hacen que el conjunto de las permutaciones, según definición de Galois, tenga estructura de Grupo respecto de esta operación. Dichas propiedades son las siguientes:

  1. Asociatividad: El orden al combinar dos permutaciones adyacentes es indiferente. Si llamamos a, b y c a tres permutaciones y * a la operación, esta propiedad se puede representar como (a*b)*c = a*(b*c).
  2. Elemento neutro: Existe una permutación, que notaremos como e, tal que dada cualquier permutación a, se verifica que a*e = a. En nuestro caso la permutación neutra es

(

123

)

123

  1. Elemento inverso: Dada cualquier permutación a, existe otra, que notaremos por a-1 tal que a*a-1 = e. Por ejemplo, si consideramos la permutación

(

123

)

312

  1. su inversa es

(

123

)

231

  1. ya que

(

123

)

(

123

)

=

(

123

)

231

312

123

La investigación de Galois prosiguió en la línea ya definida llegando a enunciar una condición para que una ecuación polinómica cualquiera pueda ser resoluble mediante radicales. De forma resumida Galois afirmó que si los coeficientes de una ecuación conforman una estructura de Grupo de Galois respecto de una determinada operación definida por él y el tal grupo verifica una serie de condiciones también concretadas, entonces la ecuación es resoluble mediante radicales.

Los axiomas de grupo los definió Galois dentro de su trabajo relativo a resolución de ecuaciones polinómicas. Es decir que, para conseguir un objetivo concreto como fue determinar la resolubilidad mediante radicales de una ecuación polinómica, le fue necesario crear toda una estructura algebraica de enorme aplicación en ramas de la matemática que no tienen nada que ver con el origen de su estudio. Incluso en campos técnicos no directamente relacionado con las matemáticas. Esta característica es la que determina la trascendencia de un descubrimiento y la genialidad de su autor.

Trascendencia de Galois

El aporte de Evariste Galois dentro del mundo de las matemáticas no es sencilla de entender, por su complejidad y la novedad, incluso para los tiempos actuales, que encierra en su interior. El trabajo de Galois no fue completamente comprendido por los matemáticos de su época, algunos sencillamente lo ignoraron, y hasta finales del siglo XIX no se descubrió su profundidad y alcance.

Su estudio se centró fundamentalmente en el campo del álgebra, rama a la que dio un impulso casi definitivo. Sus investigaciones dieron lugar a la llamada "Teoría de Grupos" y "Cuerpos de Galois". Para darnos cuenta de su importancia basta decir que las estructuras algebraicas llamadas Grupos de Galois son utilizadas constantemente en los tiempos actuales en ramas de la técnica como la Criptografía, la Informática o las Telecomunicaciones.
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Vida de Galois

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Se piden las disculpas adecuadas por presentar el video en ingles, pero esta presente ya que se muestra una representacion y resumen de vida de este matemático, se da a conocer el contexto histórico en que vivió, su vida y temprana muerte a las 20 años tal como lo señala el video.