Noción de Grupo de Galois

La teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois puede ser aplicada en diversos problemas de la teoría de cuerpos. El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. Un cuerpo es un anillo conmutativo (F, +, *) tal que 0 es distinto de 1 y todos los elementos de F salvo 0 tienen inverso multiplicativo.

Explicado, esto significa que vale lo siguiente:

F es cerrado para las operaciones + y *:

Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o más formalmente, + y * son operación binaria en F);

Ambas + y * son asociativas:

Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.

Ambas + y * son conmutativos:

Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a.

La operación * es distributiva sobre la operación +:

Para toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Existencia de un elemento neutro para +:

Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a.

Existencia de un elemento neutro para *:

Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a.

Existencia de elemento opuesto:

Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0.

Existencia de inversos:

Para cada a ≠ 0 en F, existe un elemento a ^-1 en F, tal que a * a^-1 = 1.

El requisito 0 ≠ 1 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0.

La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes, y gracias a dicha teoría, pueden ser reducidos a problemas más sencillos de la teoría de grupos.

El aporte más importante que Evariste Galois realizó dentro de las matemáticas en su tiempo fue el concepto de Grupo. Le fue necesario construirlo para encontrar una forma más general y menos engorrosa que la que proporcionaba el teorema anteriormente enunciado, de identificar las ecuaciones de grado 5 y superiores resolubles mediante radicales. El concepto no es en absoluto sencillo e intentaremos introducirlo de la forma más ligera e inteligible posible.

En primer lugar hay que fijarse en ordenaciones de letras o números conocidas como permutaciones. Los números 1, 2 y 3 pueden ser colocados de las formas 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Llamemos a la permutación 123 “permutación identidad” y consideremos una forma de expresar las permutaciones consistentes en representarlas en dos líneas con la identidad en la línea de arriba y la permutación correspondiente en la línea de abajo. Así tenemos:

(	123	)	(	123	)	(	123	)	(	123	)	(	123	)	(	123	)
	123			132			213			231			312			321

Una vez establecida la notación que usaremos vamos a definir una operación binaria en el conjunto de permutaciones. Consideremos dos cualesquiera:

(	123	)	(	123	)	=	(	123	)
	213			132				231

La operación actúa así. Si consideramos en primer lugar la segunda permutación y después la primera, observamos que lo que se ha hecho es relacionar de forma secuencial los números obtenidos por la segunda permutación con los obtenidos con la primera del siguiente modo:

1 ®1 ®2

2 ®3 ®3

3 ®2 ®1

Esta operación (que llamaremos producto) es interna; es decir, el producto de dos permutaciones es otra permutación. Se dice que cumple la propiedad de cierre. Además da cuenta de otras propiedades que hacen que el conjunto de las permutaciones, según definición de Galois, tenga estructura de Grupo respecto de esta operación. Dichas propiedades son las siguientes:

1. Asociatividad: El orden al combinar dos permutaciones adyacentes es indiferente. Si llamamos a, b y c a tres permutaciones y * a la operación, esta propiedad se puede representar como (a*b)*c = a*(b*c).
2. Elemento neutro: Existe una permutación, que notaremos como e, tal que dada cualquier permutación a, se verifica que a*e = a. En nuestro caso la permutación neutra es

(	123	)
	123

3. Elemento inverso: Dada cualquier permutación a, existe otra, que notaremos por a^-1 tal que a*a^-1 = e. Por ejemplo, si consideramos la permutación

(	123	)
	312

4. su inversa es

(	123	)
	231

5. ya que

(	123	)	(	123	)	=	(	123	)
	231			312				123

La investigación de Galois prosiguió en la línea ya definida llegando a enunciar una condición para que una ecuación polinómica cualquiera pueda ser resoluble mediante radicales. De forma resumida Galois afirmó que si los coeficientes de una ecuación conforman una estructura de Grupo de Galois respecto de una determinada operación definida por él y el tal grupo verifica una serie de condiciones también concretadas, entonces la ecuación es resoluble mediante radicales.

Los axiomas de grupo los definió Galois dentro de su trabajo relativo a resolución de ecuaciones polinómicas. Es decir que, para conseguir un objetivo concreto como fue determinar la resolubilidad mediante radicales de una ecuación polinómica, le fue necesario crear toda una estructura algebraica de enorme aplicación en ramas de la matemática que no tienen nada que ver con el origen de su estudio. Incluso en campos técnicos no directamente relacionado con las matemáticas. Esta característica es la que determina la trascendencia de un descubrimiento y la genialidad de su autor.