Nosotros sabemos resolver ecuaciones cuadráticas (de grado 2) de la forma ax2+bx+c=0. Resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de x que hacen que la igualdad anterior sea cierta. Conocemos una fórmula general para encontrar esos valores de x (llamados raíces) para las ecuaciones de grado 2. Dicha fórmula es la siguiente:
| x = | -b ± Ö(b2 - 4ac) |
| ------------------ | |
| 2a |
De igual modo se conocen, y se conocían en época de Galois, fórmulas similares, aunque bastante más complejas, para resolver ecuaciones de 3 y 4 grado.
Sin embargo, cuando nos enfrentamos con ecuaciones de grado 5 las cosas se complican. Galois trabajó durante mucho tiempo en la obtención de una fórmula general válida para ecuaciones de 5 grado y superiores. Normalmente sus esfuerzos concluían en ecuaciones erróneas y más complicadas de resolver que la ecuación original. Finalmente demostró, casi simultáneamente con otro brillante matemático llamado Niels Henrik Abel, la imposibilidad de encontrar una solución general a estas ecuaciones utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes (es decir, mediante radicales). Llegó a la conclusión de que dichas ecuaciones sólo pueden resolverse de forma aproximada utilizando técnicas de cálculo numérico. Sin embargo, existen muchas ecuaciones de 5 grado y superiores perfectamente resolubles mediante radicales. Son casos particulares, pero Galois enunció y demostró un teorema, a veces llamado “teorema de Galois”, para identificar dichas ecuaciones. Dice así: «Si en una ecuación polinómica la potencia más alta es un número primo y si, supuesto conocidos dos valores de la x, los demás se pueden obtener a partir de ellos usando únicamente la suma, la resta, la multiplicación y la división, entonces la ecuación puede ser resuelta mediante radicales.»
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